“A beleza das equações simbólicas é que é muito mais fácil… ver um problema rapidamente”: como passamos de palavras e imagens para pensar simbolicamente
Para muitos, a ideia da matemática trará de volta horas intermináveis de fórmulas e equações na escola. Então pode parecer difícil de imaginar, mas houve um tempo em que a aritmética não existia. Claro, ainda havia a necessidade de usar cálculos complexos para resolver problemas do mundo real, mas não foi até Muhammad ibn-Mūsā al-Khwārizmī, o chamado “pai da álgebra”, estabelecer os fundamentos para resolver equações que começamos a estabelecer as bases para a moderna matemática.
Neste trecho de seu novo livro “Vector: Uma história surpreendente de espaço, tempo e transformação matemática“, matemático Robyn Arianrhod explora a evolução de 4.000 anos da linguagem da matemática — desde descrições complexas até a forma simbólica que conhecemos hoje.
Aprendendo a pensar simbolicamente
A álgebra faz parte da matemática desde que os registros começaram há quase 4.000 anos, mas nem sempre na forma simbólica que aprendemos hoje. Na verdade, durante a maior parte desses quatro milênios, ela foi escrita inteiramente em palavras e numerais — embora obras como o famoso livro didático de Euclides de 300 a.C. “Elementos“também incluiu diagramas geométricos, para ajudar a provar coisas como Teorema de Pitágorase para mostrar como expandir quadrados que escreveríamos hoje como (a+b)^2.
Então, “álgebra” era comunicada em problemas de palavras incômodos ou diagramas cada vez mais complicados — embora a geometria tivesse suas vantagens. Por exemplo, é a maneira mais fácil de provar o teorema de Pitágoras. Na figura 1.1, dei uma adaptação algébrica de tal prova, embora os antigos simplesmente reorganizassem o diagrama para mostrar visualmente que a área sombreada é igual à soma das áreas dos quadrados nos lados adjacentes do triângulo — uma abordagem bem inteligente!
Demorou muito para que a álgebra emergisse da aritmética e da geometria como uma disciplina separada. Ela nem mesmo recebeu seu nome até os tempos medievais, e isso foi graças ao matemático persa do século IX Muhammad ibn-Mūsā (al-)Khwārizmī… Ele estudou na universidade pioneira do califa al-Ma'mūn com sede em Bagdá, ou “Casa da Sabedoria”, quando o grande movimento de tradução para o árabe estava no auge: manuscritos gregos, indianos e outros manuscritos antigos estavam sendo coletados de todos os cantos do o florescente império islâmico e traduzido para o árabe.
O imperialismo raramente é ético e muitas vezes violento, mas pode levar à fertilização cruzada cultural e, neste caso, o movimento visionário de tradução foi tão importante que, no século XII, os europeus estavam aprendendo árabe para traduzir esses manuscritos para o latim — incluindo o “de Ptolomeu”.Almagesto” e os “Elementos” de Euclides, juntamente com novas obras árabes, como as de al-Khwārizmī. O nome “álgebra” vem da primeira palavra do título de seu livro “Al-Jabr wa'l muqābalah” – que significa algo como “O livro completo sobre cálculo por conclusão e balanceamento.”
A julgar pelos problemas incluídos por al-Khwārizmī, um exemplo do que ele quis dizer com “Conclusão” é “Completando o quadradoo método que você pode ter aprendido na escola para resolver equações quadráticas…
Al-Khwārizmī também não escreveu equações na forma simbólica que usamos hoje. Na verdade, aos olhos modernos, o seu livro é mais aritmético do que algébrico, e um dos seus impactos importantes na Europa, quando foi traduzido para o latim, foi a popularização do sistema de numeração decimal hindu-árabe que eventualmente evoluiu para o nosso sistema moderno.
No entanto, Al-Khwārizmī é frequentemente chamado de “pai da álgebra”. Ele pode ter usado palavras em vez de símbolos, e os problemas que ele incluiu podem ter sido simples — seu propósito, ele nos conta, era ensinar os alunos a resolver problemas básicos em “casos de herança, legados, partições, processos judiciais e comércio, e em todas as suas relações entre si, ou onde a medição de terras, a escavação de canais, computação geométrica e outros objetos de vários tipos e espécies estão envolvidos”.
Mas ele sistematicamente estabeleceu equações lineares e quadráticas em forma de palavras, com métodos algorítmicos para resolvê-las — isto é, para encontrar os “números desconhecidos”, nossos modernos x'areia sim's. Na verdade, a palavra inglesa “algorithm” — que significa um conjunto de regras para executar um cálculo ou outra operação — vem de “algorismi”, uma tentativa latinizada inicial de Al-Khwārizmī.
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A beleza das equações simbólicas é que é muito mais fácil ver esses padrões gerais quando você pode ver um problema de relance. Compare isto:
Take the square of the unknown number,
then add the unknown number to itself
and take the sum away from the square;
now let the total be eight.com isso:
x^2–2x=8E tem mais: os primeiros matemáticos resolveram cada equação separadamente, mas é mais fácil se você puder ver que qualquer método funciona para a equação x^2–2x=8 também funcionará para qualquer equação da mesma forma, x^2–ax=b. Eventualmente, os matemáticos antigos começaram a reconhecer isso, mas o progresso foi relativamente lento porque eles tinham que manter todos esses padrões em suas cabeças, ou em frases longas e complicadas, e era fácil perder o controle.
Os primeiros a publicar qualquer equação numa forma simbólica transparente e reconhecidamente moderna foram [Thomas] De Harriot executores em 1631, e depois [René] Descartes em um apêndice ao seu “Discurso sobre o Método” de 1637. (Houve algumas tentativas anteriores, mas o simbolismo – mais propriamente chamado de abreviatura – foi torturado e idiossincrático.) Mesmo os sinais +, -, = e × que consideramos naturais só passaram a ser amplamente utilizados no século XVII. O que significa que os primeiros algebristas que conhecemos – os antigos mesopotâmicos, egípcios, chineses e gregos, os indianos, persas e árabes medievais, bem como os primeiros europeus modernos – todos expressaram suas equações principalmente em palavras ou imagens pictóricas de palavras. .
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É uma habilidade singular pensar simbolicamente, como mostra esta longa história. Veja a palavra problema que dei acima: é um exemplo de pensamento algorítmico. Mas o pensamento simbólico é algorítmico e muito mais, pois os seus símbolos contêm por vezes as sementes de um novo tipo de criatividade – um novo tipo de pensamento de longo alcance, mas económico.
Um caso clássico é Albert Einsteinde E=mc^2. Einstein não se propôs a encontrar a conexão entre energia e matéria. Em vez disso, ele simplesmente queria calcular a energia cinética de um elétron em movimento de acordo com sua nova teoria da relatividadepara que sua previsão teórica pudesse ser testada experimentalmente.
Alguns meses depois, porém, Einstein, de 26 anos, começou a perceber o significado de sua equação. Ele escreveu isso em seu quinto artigo inovador de 1905, seu annus mirabilis, mas levaria mais dois anos para desvendar as implicações completas e dramáticas dessa relação simbólica. Para perceber que não se tratava apenas de um cálculo sobre uma determinada forma de energia e um determinado tipo de matéria, era geral: se um corpo ganha (ou perde) energia, também ganha (ou perde) massa. Esta ideia bizarra é estranha a toda a nossa experiência de senso comum – mas lá estava ela, escondida nos símbolos da sua equação. Os físicos experimentais levaram décadas para confirmar experimentalmente esta surpreendente previsão matemática.
Um exemplo muito mais simples e anterior é a sequência de potências x, x^2, x^3 e assim por diante. A primeira “potência” é 1, então x é realmente x^1 , onde o 1 era tradicionalmente ligado geometricamente a uma linha 1-D. Os próximos dois, x^2 e x^3são pronunciados “x ao quadrado” e “x ao cubo” por analogia com a área de um quadrado e o volume de um cubo. Esses nomes destacam a maneira como os primeiros matemáticos pensavam geometricamente em vez de algebricamente, devido à natureza tangível da geometria. Em contraste, a álgebra simbólica é abstrata: você tem que dar a ela significado, mesmo que seja simplesmente a exibição de um padrão interessante como x, x^2, x^3, x^4,… Mas essa flexibilidade é a grande força da álgebra. Você pode escrever quantas potências superiores (finitas) quiser, sem ter que visualizá-las como objetos físicos.
Isso pode parecer óbvio hoje, mas foram necessários três mil e quinhentos anos para que os matemáticos deixassem de resolver equações quadráticas – “quadrático” deriva do latim para “quadrado”, então equações quadráticas são aquelas cujo maior poder é x^2 (a incógnita multiplicada por si mesma, como diziam os antigos) — para resolver equações “cúbicas” e superiores. Estas equações de grau superior são muito mais difíceis, é claro; mas parte da razão pela qual as soluções não surgiram facilmente foi que a álgebra esteve ligada a palavras e imagens concretas durante muito tempo.
Por exemplo, mencionei o “completar o quadrado” de Al-Khwārizmī para resolver uma equação quadrática. Na verdade, é um problema de 4.000 anos, que remonta (até onde o registro histórico mostra) às tábuas cuneiformes feitas por matemáticos que viviam, como Al-Khwārizmī, na região do atual Iraque. Esses antigos mesopotâmicos resolviam equações quadráticas literalmente completando um quadrado.
Aqui está um típico problema de ensino da época: “Adicione 20 do meu comprimento à área do meu quadrado, [to get] 21. Quão quadrado é meu quadrado?” Este tipo de problema, e o algoritmo para resolvê-lo, é semelhante aos ensinados hoje — exceto que, quatro milênios atrás, o método era elaborado inteiramente geometricamente. Primeiro, desenhe um quadrado de lado arbitrário x (em notação moderna); então adicione a ele um retângulo de dimensões 20 [by] x. Agora divida este retângulo adicional em dois menores iguais e organize-os ao lado e abaixo do quadrado original. Finalmente, complete este novo quadrado maior, como na figura 1.2.
Os mesopotâmicos tinham problemas práticos em mente quando desenvolveram este método, pelo menos inicialmente. Vivendo numa terra onde a água era escassa, as suas tabuinhas contêm muitos problemas relacionados com escavações de canais e reservatórios, a capacidade das cisternas, a construção e reparação de barragens e diques, e contas administrativas relacionadas com estas tarefas – e para resolver estes problemas , esses matemáticos antigos tiveram que resolver equações relativas a áreas e volumes.
Quase 3.000 anos depois, Al-Khwārizmī também se concentrou em problemas práticos semelhantes e usou um método geométrico semelhante para completar o quadrado — e o mesmo fizeram outros matemáticos até o século XVII.
Este trecho foi editado quanto ao estilo e comprimento. Reproduzido com permissão de “Vector: A Surprising Story of Space, Time, and Mathematical Transformation” por Robyn Arianrhod, publicado pela The University of Chicago Press. © 2024 por Robyn Arianrhod. Todos os direitos reservados.
